Ο ΔΕΚΑΛΟΓΟΣ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ

Του Ν.Λυγερού

Η περιπέτεια της ενασχόλη­σης με τους αριθμούς και τα μυστήριά τους είναι συναρ­παστική. Η διαδρομή είναι «αρχέγονη» και «η με­γάλη έκρηξη» γίνεται την εποχή των Πυθαγόρειων. Τα περί αριθμών δρώμενα είναι ιεροτελεστία και η όλη εν γένει ενασχόληση με τους αριθμούς δημιουρ­γεί την Πυθαγόρεια, κλει­στή καταρχήν, μυστηριακή λατρεία των αριθμών. Μερικές από αυτές τις συ­ναρπαστικές ανακαλύψεις ιδιοτήτων των αριθμών είναι οι πυθαγόρειες τριά­δες, οι κυκλικοί αριθμοί, οι ναρκισσιστικοί, οι τέλειοι, οι φίλοι, οι κοινωνικοί κι οι πρώτοι αριθμοί. Οι τελευταίοι παρουσίασαν το μεγαλύτερο ενδιαφέρον κι έμελλε να αποτελέσουν την Ιθάκη των αριθμών, που είναι η απάντηση στο ερώτημα:

—Πώς άραγε να είναι τοπο­θετημένοι οι πρώτοι αριθμοί στο σύνολο των αριθμών;

Έως και σήμερα χιλιάδες μαθηματικοί ξεκίνησαν σε ρόλο Οδυσσέα τη συναρπαστική αυτή περιπλάνηση για την αναζήτη­ση της Ιθάκης. Σ’ αυτή την πορεία να θυ­μηθούμε την Κίρκη που έκανε τον Fermat να νομίσει ότι ο τύπος 22n+1, παράγει πρώτους αριθμούς. Απ’ αυτήν μας γλίτωσε ο Εuler που για n=5 απέδειξε ότι είναι σύνθετος. Ο Ευκλείδης μάς αποδεικνύει απλά ότι αφ’ ενός στο σύνολο των ακεραίων η πιθανότητα να είναι κά­ποιος πρώτος είναι μηδέν και αφ’ ετέρου ότι υπάρ­χουν άπειροι αριθμοί.

Η αναζήτηση των πρώτων αριθμών αποτέλεσε την κυρίαρχη ενασχόληση πολ­λών μαθηματικών ανά τους αιώνες και έως σήμερα. Τα ρεκόρ καταρρίπτονται από το 1461 μέχρι το 1913, 7 φορές αρχίζοντας από τον Reguis Cataldi με τον αριθμό 213−1 και φτά­νοντας στον Power το 1913 με τον αριθμό 2107−1. Έκτοτε και μετά 40 χρόνια εμφανίζεται ο Robinson το 1952 με τον αριθμό 2521−1 με 157 ψηφία, ρεκόρ που το καταρρίπτει την ίδια χρονιά ο ίδιος 5 φορές! Φθάνοντας στον αριθμό 22281−1. Κάνοντας την εμφάνισή τους οι Η/Υ θα παρατηρήσουμε ότι σε μισό αιώνα περίπου τα ρεκόρ θα καταρριφθούν 30 φορές, ενώ σε μισή χιλιετία μόνον

7 φορές! Τον 17º αιώνα ο Mersenne με τον τύπο 2p−1 προσφέρει στους μαθηματικούς ένα κλειδί για αναζήτηση πρώτων αριθμών. Βέβαια τούτο δεν σημαίνει ότι όσοι ανακαλύπτονται είναι αριθμοί Mersenne. Το 2005 ο Gordon βρήκε τον πρώτο αριθμό 27653×(29.167.433+1) με 2.759.677 ψηφία που δεν είναι πρώτος. Σήμερα το ρεκόρ κατέχει ο Smith με την ανακάλυψη στις 23 Αυγούστου 2008 του πρώτου αριθμού 243.112.609−1 με 12.978.189 ψηφία. Δεν είναι λίγοι, επίσης, οι μαθηματικοί που επιχειρούν να περάσουν από τις συμπληγάδες πέτρες της εικασίας του Goldbach. Το τόλμημα βαρύ. Κανείς μέχρι σήμερα δεν πέρασε αλώβητος με το σκάφος του. Λίγοι όμως το μετάνιωσαν που τόλμησαν αυτή την περιπέτεια. Στο διάβα τους μας χάρισαν σπουδαίες ανακαλύψεις για τους πρώτους αριθμούς. Ο Sophie Germain, η Emmy Noether είναι μερικοί από αυτούς. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η αναζήτηση από πολλούς μαθηματικούς πρώτων αριθμών σε αριθμητική πρόοδο. Η περιπέτεια αυτή περιγράφεται στις σελίδες αυτού του βιβλίου. Θα ήθελα, τελειώνοντας, να επισημάνω πως ο συγγραφέας είναι ο μόνος Έλληνας επιστήμονας που εμπλέκεται στα ρεκόρ της θεωρίας αριθμών και ότι το ρεκόρ το κατέχει από το 1998 με την ανακάλυψη 10 διαδοχικών πρώτων αριθμών σε Αριθμητική πρόοδο με διαφορά ω=210 και πρώτο όρο του τον αριθμό: 100 99697 24697 14247 6377866555 87969 84032 95093 24689 19004 18036 0341775890 43417 03348 88215 90672 29719.

Σάκης Λιπορδέζης / Μαθηματικός–συγγραφέας / Διευθυντής μουσείου Καραθεοδωρή.